モンティホール問題というものをご存知だろうか。
プレイヤーの前に閉まった3つのドアがあり、1つのドアの後ろには景品の新車が、2つのドアの後ろには、はずれを意味するヤギがいる。プレイヤーは新車のドアを当てると新車がもらえる。プレーヤーが1つのドアを選択した後、司会のモンティが選ばれなかった残りのドア2つのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。
ここでプレーヤーは、最初に選んだドアを、残っている開けられていないドアに変更してもよいと言われる。
プレイヤーはドアを変更すべきだろうか？
モンティ・ホール問題
1990年9月9日発行、ニュース雑誌「Parade」にてマリリン・ボス・サヴァントが連載するコラム「マリリンにおまかせ」で、上記の読者投稿による質問に「正解は『ドアを変更する』である。なぜなら、ドアを変更した場合には景品を当てる確率が2倍になるからだ」と回答した。すると直後から、読者からの「彼女の解答は間違っている」との約1万通の投書が殺到し、本問題は大議論に発展した。
投書には、1000人近い博士号保持者からのものも含まれていた。その大部分は「ドアを変えても確率は五分五分（2分の1）であり、3分の2にはならない」とするものであった。
さて、あなたはマリリン氏の2/3であるという意見と、投書から寄せられた1/2であるという意見、どちらが正しいと考えるだろうか。それともどちらも間違っているのだろうか。
では、解説をしながら一緒に考えていこう。
まず3つ扉の内、1つがアタリ、2つがハズレなわけだから組み合わせは以下の3パターンが考えられる。
1：○●● 2：●○● 3：●●○
※白丸がアタリ、黒丸がハズレ
もし、これが単純に一つの扉を選ぶだけのゲームであれば、1/3の確率でアタリを引くわけだが、これに関して異論があるという者はいないだろう。
問題は、その後、司会者モンティが『選ばなかった２つの扉のうちハズレの方を開く』という部分である。
単純に３つの内１つを選ぶゲームから２の内１つを選ぶゲームに変化したのだから確率は1/2になると考えてしまいがちである。実際に数学者を含む多くの者がそう考えた。
でも、よく考えて欲しい。
最初に1/3の確率のものを選んで選択肢を変えなかった場合、司会のモンティがハズレの扉を開けようが開けまいが自身の行動に変化はないわけで、確率は当初の1/3のままではないだろうか。
自身が1/3の確率のクジを引いた後にモンティが残りからハズレくじを１枚抜いたとして、自分はそのクジを握りしめているのに突然確率が1/2になったらおかしいではないか。
そうすると、残りの選択肢は2/3の確率でなければおかしくなる。
そう、選択肢を変えた場合に確率が2倍になる（1/3から2/3になる）というマリリンの答えは正しいのである。
しかし、これを聞いて釈然としない方も多いのではないだろうか。
「だって２つの扉の内１つを選ぶんだから、1/2じゃん！」
感覚的に何やら納得できないものが残る。
では、これを数学を用いずに説明しよう。
まず、あなたが必ず選択肢を変えると決意していたとしよう。
あなたがもし最初にハズレの扉を選んでいた場合、モンティが開けるのは必ずハズレの扉なので選択肢を変えた場合はあなたは必ずアタリの扉を開くことになる。
つまり、選択肢を変えてハズレを引く場合は最初に当たりの扉を引いた場合のみであり、内訳はハズレ２、当たり１なのだから選択肢を変える場合は2/3で当たりを引けるのである。
３つの扉の内、司会がハズレの扉を一つ取り除くから残りはハズレ１つ、当たり１つであり確立は１/２でどちらを選ぼうが一緒ではないかという勘違いは、無意識に残り２つからランダムで選ぶと考えてしまうために起こる。
モンティが扉を開けた後、残り２つからコイントス等でランダムに選んだ場合の当たり確率は1/2になる。
こうした実際の確率と自身の感覚のズレというものは日常の様々な所に潜んでおり、こうした錯覚は情弱騙しのビジネスや詐欺などでも利用される。
モンティ・ホール問題は自身の感覚を信じると損をするという好例である。
投資に限らずお金のことは、自分の感覚ではなくしっかりとした確率論に基づいた行動を取ろう。
